勾股定理的10种证明方法

勾股定理的12种证法 勾股定理的多种证明方法

对于勾股定理的10种证明方法的问题,我有一些经验和见解,同时也了解到一些专业知识。希望我的回答对您有所帮助。

勾股定理的12种证法

证法1

如图26-2,在直角三角形ABC的外侧作正方形ABDE,ACFG,BCHK,它们的面积分别为c2,b2和a2。我们只要证明大正方形面积等于两个小正方形面积之和即可。

过C引CM‖BD,交AB于L,连接BC,CE。因为

AB=AE,AC=AG

∠CAE=∠BAG,

所以

△ACE≌△AGB

SAEML=SACFG

(1)

同法可证

SBLMD=SBKHC

(2)

(1)+(2)得

SABDE=SACFG+SBKHC,

c2=a2+b2

证法2

如图26-3(赵君卿图),用八个直角三角形ABC拼成一个大的正方形CFGH,它的边长是a+b,在它的内部有一个内接正方形ABED,它的边长为c,由图可知。

SCFGH=SABED+4×SABC,

所以

a2+b2=c2

证法3

如图26-4(梅文鼎图)。

在直角△ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE,在直角边AC上又作正方形ACGF。可以证明(从略),延长GF必过E;延长CG到K,使GK=BC=a,连结KD,作DH⊥CF于H,则DHCK是边长为a的正方形。设

五边形ACKDE的面积=S

一方面,

S=正方形ABDE面积+2倍△ABC面积

=c2+ab

(1)

另一方面,

S=正方形ACGF面积+正方形DHGK面积

+2倍△ABC面积

=b2+a2+ab.

(2)

由(1),(2)得

c2=a2+b2

证法4

如图26-5(项名达图),在直角三角形ABC的斜边上作正方形ABDE,又以直角三角形ABC的两个直角边CA,CB为基础完成一个边长为b的正方形BFGJ(图26-5)。可以证明(从略),GF的延长线必过D。延长AG到K,使GK=a,又作EH⊥GF于H,则EKGH必为边长等于a的正方形。

设五边形EKJBD的面积为S。一方面

S=SABDE+2SABC=c2+ab

(1)

另一方面,

S=SBEFG+2?S△ABC+SGHFK

=b2+ab+a2

由(1),(2)

得出论证

都是用面积来进行验证:一个大的面积等于几个小面积的和。利用同一个面积的不同表示法来得到等式,从而化简得到勾股定理)图见/21010000/vcm/0720ggdl.doc

勾股定理是数学上证明方法最多的定理之一——有四百多种证法!但有记载的第一个证明——毕达哥拉斯的证明方法已经失传。目前所能见到的最早的一种证法,属于古希腊数学家欧几里得。他的证法采用演绎推理的形式,记载在数学巨著《几何原本》里。在中国古代的数学家中,最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法,给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间的小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)

2

。于是便可得如下的式子:

4×(ab/2)+(b-a)

2

=c

2

化简后便可得:

a

2

+b

2

=c

2

亦即:c=(a

2

+b

2

(1/2)

赵爽的这个证明可谓别具匠心,极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系,既具严密性,又具直观性,为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。

以下网址为赵爽的“勾股圆方图”:/catchpic/0/01/01F9D756BE31CE31F761A75CACC1410C.gif

以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展,

只是具体图形的分合移补略有不同而已。

例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法,刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法,他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出),移到以弦为边的正方形的空白区域内(入),结果刚好填满,完全用图解法就解决了问题。

以下网址为刘徽的“青朱出入图”:/catchpic/A/A7/A7070D771214459D67A75E8675AA4DCB.gif

勾股定理的十六种证明方法

加菲尔德证法、加菲尔德证法变式、青朱出入图证法、欧几里得证法、毕达哥拉斯证法、华蘅芳证法、赵爽弦图证法、百牛定理证法、商高定理证法、商高证法、刘徽证法、绉元智证法、梅文鼎证法、向明达证法、杨作梅证法、李锐证法

例,如下图:

设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。

设△ABC为一直角三角形,其直角为∠CAB。

其边为BC、AB和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

画出过点A之BD、CE的平行线,分别垂直BC和DE于K、L。

分别连接CF、AD,形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A和G共线,同理可证B、A和H共线。

∠CBD和∠FBA都是直角,所以∠ABD=∠FBC。

因为AB=FB,BD=BC,所以△ABD≌△FBC。

因为A与K和L在同一直线上,所以四边形BDLK=2△ABD。

因为C、A和G在同一直线上,所以正方形BAGF=2△FBC。

因此四边形BDLK=BAGF=AB?。

同理可证,四边形CKLE=ACIH=AC?。

把这两个结果相加,AB?+AC?=BD×BK+KL×KC

由于BD=KL,BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由于CBDE是个正方形,因此AB?+AC?=BC?,即a?+b?=c?。

扩展资料

性质:

1、勾股定理的证明是论证几何的发端;

2、勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理,即它是第一个把几何与代数联系起来的定理;?

3、勾股定理导致了无理数的发现,引起第一次数学危机,大大加深了人们对数的理解;?

4、勾股定理是历史上第—个给出了完全解答的不定方程,它引出了费马大定理;?

5、勾股定理是欧氏几何的基础定理,并有巨大的实用价值,这条定理不仅在几何学中是一颗光彩夺目的明珠,被誉为“几何学的基石”,而且在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用。1971年5月15日,尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”邮票,这十个数学公式由著名数学家选出的,勾股定理是其中之首。

勾股定理的多种证明方法

证法1

作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED,

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°, ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c, ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°, BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。 同理,HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S,则 A2+B2=C2

证法2

作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC,交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点 F作FN⊥PQ,垂足为N. ∵ ∠BCA = 90°,QP∥BC, ∴ ∠MPC = 90°, ∵ BM⊥PQ, ∴ ∠BMP = 90°, ∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°。 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°, ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°, ∴ ∠QBM = ∠ABC, 又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c, ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2

证法3

作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG, ∵EF=DF-DE=b-a,EI=b, ∴FI=a, ∴G,I,J在同一直线上, ∵CJ=CF=a,CB=CD=c, ∠CJB = ∠CFD = 90°, ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD , 同理,RtΔABG ≌ RtΔADE, ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ, ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°, ∴∠ABG +∠CBJ= 90°, ∵∠ABC= 90°, ∴G,B,I,J在同一直线上, A2+B2=C2。

证法4

作三个边长分别为a、b、c的三角形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE, 交AB于点M,交DE于点L. ∵ AF = AC,AB = AD, ∠FAB = ∠GAD, ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD, ∵ ΔFAB的面积等于, ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半, ∴ 矩形ADLM的面积 =. 同理可证,矩形MLEB的面积 =. ∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴ 即A2+B2=C2

证法5(欧几里得)

《几何原本》中的证明 在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。 在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下: 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS定理) 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。证明的概念为:把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。 其证明如下: 设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是线性对应的,同理可证B、A和H。∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC。因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC,所以△ABD 必须相等于△FBC。因为 A 与 K 和 L是线性对应的,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G有共同线性,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2。同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2;。把这两个结果相加, AB2;+ AC2;; = BD×BK + KL×KC。由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形,因此AB2;+ AC2;= BC2;。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的

证法6(射影定理)

如图1,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高 通过证明三角形相似则有射影定理如下: 图1

⑴(BD)^2;;=AD·DC, ⑵(AB)^2;;=AD·AC , ⑶(BC)^2;;=CD·AC。  由公式⑵+⑶得:(AB)^2;;+(BC)^2;;=AD·AC+CD·AC =(AD+CD)·AC=(AC)^2;;, 图1即 (AB)^2;;+(BC)^2;;=(AC)^2;,这就是勾股定理的结论。

证法7(赵爽弦图)

在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子: 4×(ab/2)+(b-a)2 =c2; 赵爽弦图

化简后便可得:a2 +b2 =c2; 青朱出入图

亦即:c=(a2 +b2 )1/2

证法8(达芬奇)

达芬奇的证法

三张纸片其实是同一张纸,把它撕开重新拼凑之后,中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的,但是面积的表达式却不再相同,让这两个形式不同的表达式相等,就能得出一个新的关系式——勾股定理,所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一,因为要证的事勾股定理,那么容易知道EB⊥CF,又因为纸片的两边是对称的,所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角,原因嘛,可以看纸片一,连结AD,因为对称的缘故,所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°,那么很明显,图三中角A'和角D'都是直角。 证明: 第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE 第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E' 因为S1=S2 所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E' 又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF 所以OF2+OE2=E'F'2 因为E'F'=EF 所以OF2+OE2=EF2 勾股定理得证。

证法9

从这张图可以得到一个矩形和三个三角形,推导公式如下:

b ( a + b )= 1/2c2 + ab + 1/2(b + a)(b - a) 矩形面积 =(中间三角形)+(下方)2个直角三角形+(上方)1个直 角三角形。 (简化) 2ab + 2b2;= c2; + b2;- a2;+ 2ab 2b2- b2 + a2 = c2; a2 + b2 = c2; 注:根据加菲尔德图进一步得到的图形。

证法10

在Rt三角形ABC中,角C=90度,作CH垂直于AB于H。 令a/sinA=b/sinB=c/sinC=d 1=sin90=sinC=c/d=AH/d+BH/d=cosA×b/d+cosB×a/d=cosA×sinB+cosB×sinA=a/c·a/c+b/c·b/c =(a^2+b^2)/c^2=1 所以a^2+b^2=c^2 得证。

求证明勾股定理的10种方法(要有)

[编辑本段]勾股定理的5种证明方法

这个定理有许多证明的方法,其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loomis)的 Pythagorean Proposition( 《毕达哥拉斯命题》)一书中总共提到367种证明方式。

有人会尝试以三角恒等式(例如:正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理,但是,因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理,所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。

证法1(梅文鼎证明)

作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED,

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,

∴ ∠BEG =180°―90°= 90°

又∵ AB = BE = EG = GA = c,

∴ ABEG是一个边长为c的正方形.

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°

即 ∠CBD= 90°

又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°,

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形.

同理,HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S,则

,

∴ BDPC的面积也为S,HPFG的面积也为S由此可推出:a^2+b^2=c^2

证法2(项明达证明)

作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP‖BC,交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点

F作FN⊥PQ,垂足为N.

∵ ∠BCA = 90°,QP‖BC,

∴ ∠MPC = 90°,

∵ BM⊥PQ,

∴ ∠BMP = 90°,

∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°.

∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °,

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°,

∴ ∠QBM = ∠ABC,

又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c,

∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2

证法3(赵浩杰证明)

作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.

分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,

∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,

∴FI=a,

∴G,I,J在同一直线上,

∵CJ=CF=a,CB=CD=c,

∠CJB = ∠CFD = 90°,

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ,

同理,RtΔABG ≌ RtΔADE,

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE

∴∠ABG = ∠BCJ,

∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,

∴∠ABG +∠CBJ= 90°,

∵∠ABC= 90°,

∴G,B,I,J在同一直线上,

所以a^2+b^2=c^2

证法4(欧几里得证明)

作三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结

BF、CD. 过C作CL⊥DE,

交AB于点M,交DE于点L.

∵ AF = AC,AB = AD,

∠FAB = ∠GAD,

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,

∵ ΔFAB的面积等于,

ΔGAD的面积等于矩形ADLM

的面积的一半,

∴ 矩形ADLM的面积 =.

同理可证,矩形MLEB的面积 =.

∵ 正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

∴ 即a的平方+b的平方=c的平方

证法5欧几里得的证法

《几何原本》中的证明

在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。

在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下:

如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS定理) 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。 证明的概念为:把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。

其证明如下:

设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB。 其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是线性对应的,同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC,所以△ABD 必须相等于△FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应的,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。 因为C、A和G有共同线性,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2。 同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2。 把这两个结果相加, AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形,因此AB^2 + AC^2= BC^2。 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的

证明勾股定理最简单的十种方法

勾股定理的最简单的十种证明方法的回答如下

方法一:

利用余弦定理证明勾股定理。设三角形ABC的三个边分别为a、b、c,且角C为90度。根据余弦定理:c^2=a^2+b^2-2abcosC。

因为角C等于90度,所以cosC等于0。所以c^2=a^2+b^2。又因为角A,角B,角C是三角形ABC的三个内角,所以角A和角B都等于90度。所以a^2=b^2+c^2-2bc。同理可得到b^2=c^2+a^2-2ac。所以a^2+b^2=c^2。

方法二:

利用面积证明勾股定理。设三角形ABC的三个边分别为a、b、c,且角C为90度。根据三角形面积公式:面积=1/2ab。当角C等于90度时,面积也可以表示为:面积=1/2c^2。所以1/2ab=1/2c^2。得到a^2+b^2=c^2。

方法三:

利用正弦定理证明勾股定理。设三角形ABC的三个边分别为a、b、c,且角C为90度。根据正弦定理:sinA=a/c。当角C等于90度时,sinA也可以表示为1/√0。根据勾股定理:a^2+b^2=c^2。得到a^2+b^2=(sinA)^2c^2。所以a^2+b^2=c^2。

拓展知识:

勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理可以用于解决各种实际问题,包括建筑设计、航海、天文观测等领域。

勾股定理的历史非常悠久,可以追溯到公元前11世纪的中国古代数学家商高时期。在西方,勾股定理是由古希腊数学家毕达哥拉斯证明并得名的。

勾股定理有很多证明方法,其中比较简单的一种是利用余弦定理证明。余弦定理是指在一个三角形中,任意一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦值的积的两倍。根据余弦定理,可以得到勾股定理的证明方法。

另外,勾股定理还可以通过面积证明方法来证明。面积证明方法是通过比较两个具有相同底和高的三角形面积来证明勾股定理。这种方法比较直观易懂,适合于初学者。

总之,勾股定理是一个非常重要的几何定理,在数学和实际生活中都有着广泛的应用。

勾股定理的500种证明方法

勾股定理的证明方法如下:

1、证法一。

以a、b为直角边,以c为斜边做四个全等的三角形,按下图所示相拼,使A、E、B三点共线,B、F、C三点共线,C、G、D三点共线。

∵Rt△HAE≌Rt△EBF

∴∠AHE=∠BEF

∵∠AHE+∠AEH=90°

∴∠BEF+∠AEH=90°

∵A、E、B共线

∴∠HEF=90°,四边形EFGH为正方形。

由于上图中的四个直角三角形全等,易得四边形ABCD为正方形。

∴正方形ABCD的面积=四个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积。

∴(a+b)^2=4?(1/2)?ab+c^2,整理得a^2+b^2=c^2。

2、证法二。

如下图所示两个边长为a+b的正方形面积相等,所以a^2+b^2+4?(1/2)?ab=c^2+4?(1/2)?ab,故a^2+b^2=c^2。

3、证法三。

以a、b为直角边,以c为斜边做四个全等的三角形,按下图所示相拼。易得四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形。

∴正方形ABCD的面积=四个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积∴c^2=4?(1/2)?ab+(b-a)^2,整理得a^2+b^2=c^2。

4、证法四。

如下图所示。易得△CDE为等腰直角三角形

∴梯形ABCD的面积=两个直角三角形的面积+一个等腰三角形的面积。

∴1/2?(a+b)?(a+b)=2?(1/2)?ab+(1/2)?c^2,整理得a^2+b^2=c^2。

给出勾股定理的十种证明方法

勾股定理的证明:在这数百种证明方法中,有的十分精彩,有的十分简洁,有的因为证明者身份的特殊而非常著名。

首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明,据说分别来源于中国和希腊。

1.中国方法:画两个边长为(a+b)的正方形,如图,其中a、b为直角边,c为斜边。这两个正方形全等,故面积相等。

左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形,左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉,图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形,分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是

a^2+b^2=c^2。

这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单,任何人都看得懂。

2.希腊方法:直接在直角三角形三边上画正方形,如图。

容易看出,

△ABA’ ≌△AA'C 。

过C向A’’B’’引垂线,交AB于C’,交A’’B’’于C’’。

△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半,△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高,前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C,知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。

于是, S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC,

即 a2+b2=c2。

至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半,则可用割补法得到(请读者自己证明)。这里只用到简单的面积关系,不涉及三角形和矩形的面积公式。

这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。

以上两个证明方法之所以精彩,是它们所用到的定理少,都只用到面积的两个基本观念:

⑴ 全等形的面积相等;

⑵ 一个图形分割成几部分,各部分面积之和等于原图形的面积。

这是完全可以接受的朴素观念,任何人都能理解。

我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种,为勾股定理作的图注也不少,其中较早的是赵爽(即赵君卿)在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法:

如图,将图中的四个直角三角形涂上朱色,把中间小正方形涂上**,叫做中黄实,以弦为边的正方形称为弦实,然后经过拼补搭配,“令出入相补,各从其类”,他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦也”。

赵爽对勾股定理的证明,显示了我国数学家高超的证题思想,较为简明、直观。

西方也有很多学者研究了勾股定理,给出了很多证明方法,其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后,欣喜若狂,杀牛百头,以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是,毕达哥拉斯的证明方法早已失传,我们无从知道他的证法。

下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。

如图,

S梯形ABCD= (a+b)2

= (a2+2ab+b2), ①

又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED

= ab+ ba+ c2

= (2ab+c2)。 ②

比较以上二式,便得

a2+b2=c2。

这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式,从而使证明相当简洁。

1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后,伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法,这在数学史上被传为佳话。

在学习了相似三角形以后,我们知道在直角三角形中,斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。

如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°。作CD⊥BC,垂足为D。则

△BCD∽△BAC,△CAD∽△BAC。

由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA, ①

由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ②

我们发现,把①、②两式相加可得

BC2+AC2=AB(AD+BD),

而AD+BD=AB,

因此有 BC2+AC2=AB2,这就是

a2+b2=c2。

这也是一种证明勾股定理的方法,而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。

在对勾股定理为数众多的证明中,人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法:

设△ABC中,∠C=90°,由余弦定理

c2=a2+b2-2abcosC,

因为∠C=90°,所以cosC=0。所以

a2+b2=c2。

这一证法,看来正确,而且简单,实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。

人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。

欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理:“直角三角形斜边上的一个直边形,其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。

从上面这一定理可以推出下面的定理:“以直角三角形的三边为直径作圆,则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。

勾股定理还可以推广到空间:以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体,则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。

若以直角三角形的三边为直径分别作球,则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。

如此等等。

附录

一、《周髀算经》简介

《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪,原名《周髀》,它是我国最古老的天文学著作,主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一,故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明,其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。

《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。

二、伽菲尔德证明勾股定理的故事

1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨。由于好奇心驱使,伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么?那个小男孩头也不抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答道:“是5呀。”小男孩又问道:“如果两条直角边长分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不假思索地回答道:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说:“先生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心里很不是滋味。

于是,伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算,终于弄清了其中的道理,并给出了简洁的证明方法。

好了,今天关于“勾股定理的10种证明方法”的话题就讲到这里了。希望大家能够通过我的介绍对“勾股定理的10种证明方法”有更全面的认识,并且能够在今后的实践中更好地运用所学知识。如果您有任何问题或需要进一步的信息,请随时告诉我。

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